2019 早稲田大学理工学部の数学を解いてみる

こんにちは、受験シーズンなので僕も2019年の早稲田の理工学部の数学問題を解いてみました。

（僕は早稲田受けたことないので時間配分とか知らないけど、勝手に解説します。例のごとく一人のただの大学生の答案として、間違ってる点があったらどしどし指摘ください。）

問題
全体的な話
第1問
第2問
第3問
第4問
第5問

問題

では、問題から書きますね。

第1問

自然数 $\displaystyle n$ について、次のような命題を考える。

（＊） $\displaystyle n^2 +1, 2 n^2 + 3, 6 n^2 + 5$ は全て素数である

(1) $\displaystyle n=5k$ （ $\displaystyle k$ は自然数）のとき、 $\displaystyle n$ は（＊）を満たさないことを示せ。

(2) （＊）を満たすような $\displaystyle n$ は $\displaystyle n=1,2$ のみであることを示せ。

第2問

$\displaystyle n$ は3以上の自然数とする。面積1の正 $\displaystyle n$ 角形 $\displaystyle P_n$ を考え、その周の長さを $\displaystyle L_n$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $\displaystyle {(L_n)}^2$ を求めよ。

(2) $\displaystyle \lim _ { n \rightarrow \infty } L _ { n }$ を求めよ。

(3) $\displaystyle n < k$ ならば $\displaystyle {(L_n)}^2 > {(L_k)}^2$ となることを示せ。

第3問

実数 $\displaystyle x$ に対し $\displaystyle [ x ]$ を $\displaystyle x - 1 < [ x ] \leqq x$ を満たす整数とする。次の極限を求めよ。

(1) $\displaystyle \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \left[ \frac { 1 } { \sin \frac { 1 } { n } } \right]$

(2) $\displaystyle \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n \sqrt { n } } ( 1 + [ \sqrt { 2 } ] + [ \sqrt { 3 } ] + \cdots + [ \sqrt { n } ] )$

第4問

原点 $\displaystyle O$ を中心とする半径1の球面 $\displaystyle S$ に、四面体 $\displaystyle PABC$ が内接している。点 $\displaystyle P$ と三角形 $\displaystyle ABC$ の重心 $\displaystyle G$ を通る直線が球面 $\displaystyle S$ と交わる $\displaystyle P$ と異なる点を $\displaystyle Q$ とする。また、 $\displaystyle \vec { \mathrm { PA } } = \vec { a } , \vec { \mathrm { PB } } = \vec { b } , \vec { \mathrm { PC } } = \vec { c } , \vec { \mathrm { PO } } = \vec { p }$ とする。次の問に答えよ。

(1) $\displaystyle \vec { a } \cdot \vec { a } = 2 \vec { a } \cdot \vec { p }$ を示せ。

(2) $\displaystyle \vec { P Q } = k \vec { P G }$ となる $\displaystyle k$ を、 $\displaystyle \vec { a } , \vec { b } , \vec { c }$ を用いて表せ。

(3) $\displaystyle \mathrm { PG } : \mathrm { PQ } = 1 : 3$ とする。角 $\displaystyle \angle A P B , \angle B P C , \angle C P A$ に対して、次のいずれかが成り立つことを示せ。

3つの角のうち、少なくとも1つは鋭角、少なくとも1つは鈍角である。

3つの角は直角である。

(4) $\displaystyle \mathrm { PG } : \mathrm { PQ } = 1 : 3 , | \vec { a } | = | \vec { b } | = | \vec { c } | = \frac { 2 } { \sqrt { 3 } }$ とする。 $\displaystyle PQ$ を求めよ。さらに、四面体 $\displaystyle PABC$ の体積を求めよ。

第5問

実数 $\displaystyle a$ は $\displaystyle - \pi \leqq a \leqq \pi$ の範囲にあるとする。極方程式

$\displaystyle r = 1 + \cos \theta \quad \left( a \leqq \theta \leqq a + \frac { 2 \pi } { 3 } \right)$

と表される座標平面上の曲線の長さを $\displaystyle l(a)$ とする。次の問に答えよ。

(1)この曲線を $\displaystyle x = r \cos \theta , y = r \sin \theta$ で表したとき、 $\displaystyle \sqrt { \left( \frac { d x } { d \theta } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d y } { d \theta } \right) ^ { 2 } }$ を $\displaystyle \theta$ を用いて表せ。

(2) $\displaystyle - \pi \leqq a \leqq \frac { \pi } { 3 }$ のとき、 $\displaystyle l(a)$ を求めよ。

(3) 横軸 $\displaystyle a$ 、縦軸 $\displaystyle l$ の座標平面上に $\displaystyle \ell = \ell ( a ) ( - \pi \leqq a \leqq \pi )$ のグラフを書き、 $\displaystyle l(a)$ の最大値、最小値を求めよ。

全体的な話

解いてみた感想。1~3はとっても簡単な印象を受けました。ただ、ここの出来が合否を分けるんだろうなぁとも思いますので、慎重に、確実に取っておきたいですね。

4,5はめんどくさいという意味で難しいです。4のベクトルは結構ベクトルの問題としては難易度高めで、それなりに受験数学的なベクトルの使い方に習熟してないと解けません。（僕もベクトルの公式なんだっけ〜とか調べながらやってたので…笑）5の最後とかも、複雑な三角関数グラフを書くのが久々すぎて「ウッ」ってなりました。

基本に忠実ながらも、差がつきやすそうないい感じのセットでしたね。試験時間は知りませんが、100~120分が妥当かな？

第1問

整数問題ですね。(1)でめちゃくちゃヒントもらってるのでこれを鍵にして解き切りたい問題ですかね。

自然数 $\displaystyle n$ について、次のような命題を考える。

（＊） $\displaystyle n^2 +1, 2 n^2 + 3, 6 n^2 + 5$ は全て素数である

(1) $\displaystyle n=5k$ （ $\displaystyle k$ は自然数）のとき、 $\displaystyle n$ は（＊）を満たさないことを示せ。

(2) （＊）を満たすような $\displaystyle n$ は $\displaystyle n=1,2$ のみであることを示せ。

5で割ったあまりに注目して場合分けをすることで、無限に存在する自然数の議論が有限回の場合分けで済む。というタイプの典型問題ですかね。

2018-11-25数学問題006 京大の整数…？

第2問

これも標準的な問題としてはよくあるネタの一つですよね。円に内接する正多角形がらみの極限ですね。だいたいやることが決まってますし、今回はそこまで難しくはないので見通しも立ちやすいのではないでしょうか。

$\displaystyle n$ は3以上の自然数とする。面積1の正 $\displaystyle n$ 角形 $\displaystyle P_n$ を考え、その周の長さを $\displaystyle L_n$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $\displaystyle {(L_n)}^2$ を求めよ。

(2) $\displaystyle \lim _ { n \rightarrow \infty } L _ { n }$ を求めよ。

(3) $\displaystyle n < k$ ならば $\displaystyle {(L_n)}^2 > {(L_k)}^2$ となることを示せ。

(2)は直感的に答えだけは出せますよね。内接正n角形のnが増えてったら、まぁ限りなく円に近づくだろうと。この予想を数式で示してあげればOKです。(1)の誘導があるので簡単ですね。

(3)は工夫して計算量を減らしたいです。僕の答案はちょっと雑なので、丁寧に微分計算してあげることができればベターですね。（時間なかったの許して）

第3問

「あれ、どした？」ってなるくらい、よくある典型問題でしたね。ここ落とすとかなり痛いです。それ以上言うこと無いかな。

実数 $\displaystyle x$ に対し $\displaystyle [ x ]$ を $\displaystyle x - 1 < [ x ] \leqq x$ を満たす整数とする。次の極限を求めよ。

(1) $\displaystyle \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \left[ \frac { 1 } { \sin \frac { 1 } { n } } \right]$

(2) $\displaystyle \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n \sqrt { n } } ( 1 + [ \sqrt { 2 } ] + [ \sqrt { 3 } ] + \cdots + [ \sqrt { n } ] )$

(1)はガウス記号の極限のパターン、(2)はそれに加えて区分求積法の形に持っていけると言うアイデアがあればOKです。

第4問

多分今回の問題の中で一番難しいのではないでしょうか。ベクトルの問題で、最初から最後まで得られたヒントをフル活用しながら解きつつ、幾何的なアプローチも必要になりそうな問題ですね。

原点 $\displaystyle O$ を中心とする半径1の球面 $\displaystyle S$ に、四面体 $\displaystyle PABC$ が内接している。点 $\displaystyle P$ と三角形 $\displaystyle ABC$ の重心 $\displaystyle G$ を通る直線が球面 $\displaystyle S$ と交わる $\displaystyle P$ と異なる点を $\displaystyle Q$ とする。また、 $\displaystyle \vec { \mathrm { PA } } = \vec { a } , \vec { \mathrm { PB } } = \vec { b } , \vec { \mathrm { PC } } = \vec { c } , \vec { \mathrm { PO } } = \vec { p }$ とする。次の問に答えよ。

(1) $\displaystyle \vec { a } \cdot \vec { a } = 2 \vec { a } \cdot \vec { p }$ を示せ。

(2) $\displaystyle \vec { P Q } = k \vec { P G }$ となる $\displaystyle k$ を、 $\displaystyle \vec { a } , \vec { b } , \vec { c }$ を用いて表せ。

(3) $\displaystyle \mathrm { PG } : \mathrm { PQ } = 1 : 3$ とする。角 $\displaystyle \angle A P B , \angle B P C , \angle C P A$ に対して、次のいずれかが成り立つことを示せ。

3つの角のうち、少なくとも1つは鋭角、少なくとも1つは鈍角である。

3つの角は直角である。

(4) $\displaystyle \mathrm { PG } : \mathrm { PQ } = 1 : 3 , | \vec { a } | = | \vec { b } | = | \vec { c } | = \frac { 2 } { \sqrt { 3 } }$ とする。 $\displaystyle PQ$ を求めよ。さらに、四面体 $\displaystyle PABC$ の体積を求めよ。

(4)で一部証明を略しましたが、ここは（試験時間によりますが）証明書かなくても幾何的にわかるみたいな感じで減点対象にならない可能性もあります。もちろん書いた方がいいけども。合同とか垂直とか色々組み合わせて証明しますが、今回の問題を解く上で本質的な部分では無いと思うのでカットで。

第5問

4が一番難しい問題なら、5は一番処理がだるい問題ですかね。

実数 $\displaystyle a$ は $\displaystyle - \pi \leqq a \leqq \pi$ の範囲にあるとする。極方程式

$\displaystyle r = 1 + \cos \theta \quad \left( a \leqq \theta \leqq a + \frac { 2 \pi } { 3 } \right)$

と表される座標平面上の曲線の長さを $\displaystyle l(a)$ とする。次の問に答えよ。

(1)この曲線を $\displaystyle x = r \cos \theta , y = r \sin \theta$ で表したとき、 $\displaystyle \sqrt { \left( \frac { d x } { d \theta } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { d y } { d \theta } \right) ^ { 2 } }$ を $\displaystyle \theta$ を用いて表せ。

(2) $\displaystyle - \pi \leqq a \leqq \frac { \pi } { 3 }$ のとき、 $\displaystyle l(a)$ を求めよ。

(3) 横軸 $\displaystyle a$ 、縦軸 $\displaystyle l$ の座標平面上に $\displaystyle \ell = \ell ( a ) ( - \pi \leqq a \leqq \pi )$ のグラフを書き、 $\displaystyle l(a)$ の最大値、最小値を求めよ。